, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare...filiera vocaţională, profilul...

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

Pagina 1 din 1

Examenul de bacalaureat naţional 2019

Proba E. c)

Matematică M_pedagogic

Model

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Arătați că 2 3 20 45 5 4 12 2− + − + − = .

5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 7f x x= + . Calculați ( )f a , unde ( ) ( )3 1a f f= − .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22 4 1 1x x x+ + = + .

5p 4. După două ieftiniri succesive cu câte 50% , un obiect costă 100 de lei. Calculați prețul inițial al obiectului.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 2M − − , ( )2,0N − şi ( )0, 4P − . Determinați

lungimea medianei din vârful M al triunghiului MNP .

5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu 10BC = și ( ) 30m B = °∢ . Calculaţi lungimea

laturii AB .

SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 2 2 2 3x y xy x y∗ = − − + .

5p 1. Arătați că 2 2 3∗ = .

5p 2. Demonstrați că ( )( )2 1 1 1x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .

5p 3. Arătați că 3

2e = este elementul neutru al legii de compoziţie „∗”.

5p 4. Verificați dacă 5

4 este simetricul lui 2 în raport cu legea de compoziţie „∗”.

5p 5. Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )1 1 1x x+ ∗ − = .

5p 6. Determinați numerele naturale nenule n pentru care ( )1 5n n∗ + ≤ .

SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)

Se consideră matricele

1 4

3 2A

=

− − ,

5 1

2 1B

− =

− și 2

1 0

0 1I

=

.

5p 1. Arătați că det 10A = .

5p 2. Arătaţi că 26 3B B B I⋅ = − .

5p 3. Determinați numerele reale x și y pentru care 7 7

8 3xA yB

+ =

− − .

5p 4. Determinaţi inversa matricei B .

5p 5. Arătați că matricea ( )2X ∈ ℝM , care verifică egalitatea A X B+ = , este inversabilă.

5p 6. Demonstrați că ( )2det 0A aI+ > , pentru orice număr real a .

Descarcat de pe site−ul ebacalaureat.ro


Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model Barem de evaluare şi de notare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

Pagina 1 din 2


Proba E. c)


BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Model


• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2 3 20 45 5 4 12 2 3 2 5 3 5 5 2 2 3− + − + − = − + − + − = 3p

( ) ( )2 3 2 3 2 5 3 5 5 2 2= − + − + − + = 2p 2. ( )3 10f = , ( ) ( ) ( )1 8 3 1 2f a f f= ⇒ = − = 3p

( ) ( )2 9f a f= = 2p

3. 2 2 22 4 1 2 1 2 0x x x x x x+ + = + + ⇒ + = 2p

2x = − , care nu convine sau 0x = , care convine 3p 4.

Prețul după prima ieftinire este 50

100 2

xx x− ⋅ = , unde x este prețul inițial al obiectului 2p

Prețul după a doua ieftinire este 50

2 100 2 4

x x x− ⋅ = , deci 100 400

4

xx= ⇒ = de lei 3p

5. Mijlocul segmentului NP este punctul ( )1, 2Q − − 3p

1MQ = 2p 6. 3

cos2 10

AB ABB

BC= ⇒ = 3p

5 3AB = 2p

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3∗ = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = 3p 8 4 4 3 3= − − + = 2p

2. 2 2 2 2 1x y xy x y∗ = − − + + = 2p

( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 1 2 1 1 1x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p

3. ( )

3 32 1 1 1 1 1

2 2x x x x

∗ = − − + = − + =

, pentru orice număr real x 2p

( )3 3 3

2 1 1 1 1 12 2 2

x x x x x

∗ = − − + = − + = = ∗

, pentru orice număr real x , deci 3

2e = este

elementul neutru al legii de compoziție „∗”

3p

4. ( )

5 5 1 32 2 2 1 1 1 2 1

4 4 4 2

∗ = − − + = ⋅ + =

2p

( )5 5 1 3

2 2 1 2 1 1 2 14 4 4 2

∗ = − − + = ⋅ + =

, deci

5

4 este simetricul lui 2 în raport cu legea de

compoziţie „∗”

3p

5. ( )( ) ( )2 1 1 1 1 1 1 2 0x x x x+ − − − + = ⇔ − = 3p

0x = sau 2x = 2p 6. ( )( ) ( )2 1 1 1 1 5 1 2n n n n− + − + ≤ ⇔ − ≤ 2p

Cum n este număr natural nenul, obținem 1n = sau 2n = 3p



Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model Barem de evaluare şi de notare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

Pagina 2 din 2

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. ( ) ( )

1 4det 1 2 3 4

3 2A = = ⋅ − − − ⋅ =

− − 3p

2 12 10= − + = 2p 2. 27 6

12 3B B

− ⋅ =

− 2p

230 6 3 0 27 6

6 312 6 0 3 12 3

B I B B− −

− = − = = ⋅ − −

3p

3. 4 5 5 4

3 2 2 3 2 2

x x y y x y x yxA yB

x x y y x y x y

− + − + = + =

− − − − − − + 2p

5 4 7 7

3 2 2 8 3

x y x y

x y x y

+ − =

− − − + − − , de unde obținem 2x = și 1y = 3p

4. det 3B = 2p

1

1 1

3 32 5

3 3

B−

=

3p

5. 4 5

1 3X B A X

− = − ⇒ =

2p

4 5det 17 0

1 3X

−= = ≠ , deci matricea X este inversabilă 3p

6. ( ) 22 2

1 4det 10

3 2

aA aI A aI a a

a

+ + = ⇒ + = − + =

− − 2p

21 39

02 4

a

= − + >

, pentru orice număr real a 3p



Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 6 Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

Pagina 1 din 1


Proba E. c)


Varianta 6




5p 1. Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice cu termeni pozitivi ( ) 1n nb ≥ , știind că

1 2b = și 3 8b = .

5p 2. Determinați numărul real m , știind că punctul ( ),2A m m aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,

( ) 5 6f x x= − .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 10 25 5x x− + = .

5p 4. După o ieftinire cu 10% , urmată de o scumpire cu 10 lei, prețul unui obiect este 190 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,4A și ( )6,0B . Determinați, în triunghiul

AOB , ecuația medianei din vârful A .

5p 6. Arătați că 2sin30 sin 90 0° − ° = .


Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )2 1x y xy x y= + + +� .

5p 1. Arătați că ( )1 1 1− = −� .

5p 2. Arătați că legea de compoziție „ � ” este comutativă.

5p 3. Demonstrați că ( )( )2 1 1 1x y x y= + + −� , pentru orice numere reale x și y .

5p 4. Demonstrați că 1

2e = − este elementul neutru al legii de compoziție „ � ”.

5p 5. Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )1 2 5x x− + = −� .

5p 6. Determinați numerele naturale nenule n pentru care ( )1 11n n − ≤� .



1 1

2 0A

=

și 3 1

2 2B

=

.

5p 1. Arătați că det 2A = − .

5p 2. Calculați ( )det A B+ .

5p 3. Arătați că A A B⋅ = .

5p 4. Determinați numerele reale a și b pentru care 5 3

6 2aA bB

+ =

.

5p 5. Arătați că, dacă ( )2X ∈ ℝM astfel încât X A B+ = , atunci matricea X este inversabilă.

5p 6. Determinați valorile reale ale lui a pentru care ( )2det 0A B aI+ − ≤ , unde 21 0

0 1I

=

.



Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 6 Barem de evaluare şi de notare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

Pagina 1 din 2


Proba E. c)



Varianta 6





1. 2 4b = 2p

3 1 2 3 2 4 8 14S b b b= + + = + + = 3p 2. ( ) 5 6f m m= − 2p

5 6 2 2m m m− = ⇔ = 3p 3. 2 210 25 25 10 0x x x x− + = ⇒ − = 2p

0x = sau 10x = , care convin 3p 4. 10

10 190100

x x− ⋅ + = , unde x este prețul inițial al obiectului 3p

200x = de lei 2p 5. Punctul ( )3,0M este mijlocul segmentului OB 2p

Ecuația medianei este 4 12y x= − 3p 6. 1

sin302

° = 2p

1sin90 1 2sin 30 sin90 2 1 0

2° = ⇒ ° − ° = ⋅ − = 3p


1. ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 1 1 1 1− = ⋅ − ⋅ + − + + =� 3p

( )2 1 1 1= ⋅ − + = − 2p

2. ( ) ( )2 1 2 1x y xy x y yx y x= + + + = + + + =� 3p

y x= � , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziţie „ � ” este comutativă 2p 3. 2 2 2 2 1x y xy x y= + + + − =� 2p

( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 1 2 1 1 1x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p

4. ( )

1 12 1 1 1 1 1

2 2x x x x

− = + − + − = + − = � , pentru orice număr real x 2p

( )1 1

2 1 1 1 1 12 2

x x x x

− = − + + − = + − =

� , pentru orice număr real x , deci 1

2e = − este

elementul neutru al legii de compoziție „ � ”

3p

5. ( )( ) 22 1 1 2 1 1 5 3 2 0x x x x− + + + − = − ⇔ + + = 3p

2x = − sau 1x = − 2p 6. ( )( ) 22 1 1 1 1 11 6 0n n n n+ − + − ≤ ⇔ + − ≤ 2p

[ ]3,2n∈ − și, cum n este număr natural nenul, obținem 1n = sau 2n = 3p




Pagina 2 din 2


1. 1 1det 1 0 2 1

2 0A = = ⋅ − ⋅ = 3p

0 2 2= − = − 2p 2. 4 2

4 2A B

+ =

3p

( )4 2

det 04 2

A B+ = = 2p

3. 1 1 1 2 1 1 1 0

2 1 0 2 2 1 0 0A A

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = =

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ 3p

3 1

2 2B

= =

2p

4. 3 3

2 0 2 2 2 2 2

a a b b a b a baA bB

a b b a b b

+ + + = + =

+ 2p

3 5 3

2 2 2 6 2

a b a b

a b b

+ + =

+ , de unde obținem 2a = și 1b = 3p

5. 2 0

0 2X B A X

= − ⇒ =

3p

2 0det 4 0

0 2X = = ≠ , deci matricea X este inversabilă 2p

6. ( ) 22 2

4 2det 6

4 2

aA B aI A B aI a a

a

− + − = ⇒ + − = −

− 3p

[ ]2 6 0 0,6a a a− ≤ ⇔ ∈ 2p


Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare �i Examinare

Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător�educatoare

Pagina 1 din 1


Proba E. c)


Model

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător�educatoare

•� Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. •� Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.


5p 1. Arătați că ( )2 3 5 20 6− + = . 5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 22 2f x x a= + − . Determinați numărul real a , pentru care

( )0 0f = .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 7 1x− = .

5p 4. După două ieftiniri succesive cu câte 50% , un tricou costă 10 lei. Calculați prețul inițial al tricoului.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,3M �i ( )0,3N . Calculați lungimea segmentului MN .

5p 6. Calculaţi lungimea laturii AB a triunghiului ABC dreptunghic în A , �tiind că 15BC = și

3sin

5C = .

SUBIECTUL al II,lea (30 de puncte)

Pe mulţimea numerelor reale se define�te legea de compoziţie 3x y x y∗ = + − .

5p 1. Arătați că ( )3 4 4∗ − = − . 5p 2. Arătați că legea de compoziţie „∗” este asociativă.

5p 3. Verificaţi dacă 3e = este elementul neutru al legii de compoziţie „∗”.

5p 4. Demonstrați că ( ) ( )1010 1010 1010 1010a a+ ∗ − = ∗ , pentru orice număr real a .

5p 5. Determinați numărul real x pentru care 9 3 9x x= ∗ .

5p 6. Determinați numerele naturale n pentru care ( )1 2n n∗ + ≤ .

SUBIECTUL al III,lea (30 de puncte)


1 3

2 4M

=

, 21 0

0 1I

=

�i ( ) 2A a aI M= + , unde a este număr real.

5p 1. Arătați că det 2M = − .

5p 2. Calculați suma elementelor matricei ( )2017A . 5p 3. Arătați că 25 2M M M I⋅ = + .

5p 4. Arătați că inversa matricei ( )1A este matricea

5 3

4 41 1

2 2

− −

.

5p 5. Determinați numerele reale a pentru care ( ) ( ) ( )2A a A a A a M M⋅ = + ⋅ . 5p 6. Determinați numărul natural m pentru care ( )( )det 4A m < .



Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model

Barem de evaluare �i de notare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător�educatoare

Pagina 1 din 2


Proba E. c)


BAREM DE EVALUARE "I DE NOTARE

Model


•�Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. •�Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

•� Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut pentru lucrare.


1. 20 2 5= 2p

6 2 5 2 5 6− + = 3p 2. ( )0 2f a= − 2p

2 0 2a a− = ⇔ = 3p 3. 37 1x− = 3p

6x = , care convine 2p 4.

Prețul după prima ieftinire este 50

100 2

pp p− ⋅ = , unde p este prețul inițial al tricoului 2p

Prețul după a doua ieftinire este 50

2 100 2 4

p p p− ⋅ = , de unde obținem 40p = de lei 3p

5. ( ) ( )2 20 2 3 3MN = − + − = 3p 2= 2p

6. 3sin

5 15

AB ABC

BC= ⇒ = 3p

9AB = 2p

SUBIECTUL al II8lea (30 de puncte)

1. ( ) ( )3 4 3 4 3∗ − = + − − = 3p ( )1 3 4= − − = − 2p

2. ( ) ( ) ( )3 3 3 6x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = + − ∗ = + − + − = + + − 2p ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 6x y z x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = ∗ + − = + + − − = + + − = ∗ ∗ , pentru orice

numere reale x ,

y și z , deci legea de compoziţie „∗” este asociativă 3p

3. 3 3 3x x x∗ = + − = 2p 3 3 3 3x x x x∗ = + − = = ∗ , pentru orice număr real x , deci 3e = este elementul neutru al legii de compoziție „∗”

3p

4. ( ) ( ) ( ) ( )1010 1010 1010 1010 3 1010 1010 3a a a a+ ∗ − = + + − − = + − = 3p 1010 1010= ∗ , pentru orice număr real a 2p

5. ( )( )9 3 9 3 3 2 3 3 0x x x x= + − ⇔ + − = 3p Cum 3 0x > , obținem 1x = 2p

6. ( )1 3 2 2n n n+ + − ≤ ⇔ ≤ 2p Cum n este număr natural, obținem 0n = , 1n = sau 2n = 3p



Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model

Barem de evaluare �i de notare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător�educatoare

Pagina 2 din 2

SUBIECTUL al III8lea (30 de puncte)

1. 1 3det 1 4 2 3

2 4M = = ⋅ − ⋅ = 3p

4 6 2= − = − 2p 2.

( ) 22018 3

2017 20172 2021

A I M

= + =

3p

Suma elementelor matricei ( )2017A este egală cu 4044 2p 3. 7 15

10 22M M

⋅ = =

3p

2 2

5 15 2 0 1 35 2 5 2

10 20 0 2 2 4I M I

= + = + = +

2p

4.

( ) 2

5 3 5 3 5 3 3 3

2 3 1 04 4 4 4 2 2 2 21

1 1 2 5 1 1 5 5 3 5 0 1

2 2 2 2 2 2 2 2

A I

− − − − + ⋅ = ⋅ = = = − − − − +

2p

( ) 2

5 3 5 3 15 15

1 04 4 2 2 4 41

1 1 3 5 0 11 1

2 2 2 2

A I

− − − ⋅ = = =

− − + − +

, deci matricea

5 3

4 4

1 1

2 2

− −

este inversa

matricei ( )1A

3p

5. ( ) ( ) 2 2 2A a A a a I aM M M⋅ = + + ⋅ 2p 2 2

2 2

12

2a I aM M M a I M M M a+ + ⋅ = + + ⋅ ⇔ = 3p

6. ( )( ) 21 3det 5 2

2 4

mA m m m

m

+= = + −

+ 2p

2 25 2 4 5 6 0m m m m+ − < ⇔ + − < și, cum m este număr natural, obținem 0m = 3p



Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

Pagina 1 din 1


Proba E. c)


Clasa a XII-a

Simulare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare



5p 1. Determinați a 2018-a zecimală a numărului 40

11.

5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3 2f x x x= − + . Determinaţi valoarea minimă a funcției f .

5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 2 12x x− = .

5p 4. După o majorare cu 10% , urmată de o reducere cu 10% , prețul unui televizor este 990 de lei. Calculați prețul inițial al televizorului.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,2A , ( )1,5B − , ( )3,4C − şi ( ),4D a .

Determinați numărul real a , știind că vectorii AD��

și CB��

sunt coliniari.

5p 6. Calculați raza cercului circumscris triunghiului ABC cu 10AB = , 24AC = și 26BC = .


Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 4 4 20x y xy x y∗ = − − + .

5p 1. Calculați 2 3∗ .

5p 2. Demonstrați că ( )( )4 4 4x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .

5p 3. Demonstrați că legea de compoziție „∗” este asociativă.

5p 4. Determinați numerele reale x pentru care ( )1 6x x∗ + = .

5p 5. Determinați valorile reale x pentru care 8x x∗ ≤ .

5p 6. Calculați 0 1 2 20182 2 2 2∗ ∗ ∗ ∗… .


Se consideră matricea ( ),a b

A a bb a

=

− , unde a și b sunt numere reale.

5p 1. Calculați ( )( )det 1,1A .

5p 2. Determinați numerele reale x și y , știind că ( ) ( ) ( ), 3,1 1,1A x y A A− = .

5p 3. Arătați că ( ) ( ) ( ) ( )6 3,1 3,1 3,1 10 1,0A A A A− ⋅ = .

5p 4. Determinați numerele reale a și b , știind că ( )( )det , 0A a b = .

5p 5. Rezolvați ecuația matriceală ( ) ( )1,1 1,0A X A⋅ = .

5p 6. Determinați perechile de numere naturale ( ),m n , știind că matricea ( ),A m n− este inversa matricei

( ),A m n .



Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Pagina 1 din 2

Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c)

Matematică M_şt-nat Clasa a XII-a


Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii


• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut pentru lucrare.


1. 3 4z i= + 3p 3 4z i= − 2p

2. Cum n este număr natural, ( )( )4 3 0 3n n n+ − < ⇒ < 2p 0n = , 1n = sau 2n = 3p

3. ( ) ( ) ( )2 2

lg 1 lg 5 1 5x x x x+ = − ⇒ + = − 2p

2 11 24 0 3x x x− + = ⇒ = , care nu verifică ecuația și 8x = , care verifică ecuația 3p

4. O mulțime cu n elemente are 2nC submulțimi cu două elemente 2p

( )145 10

2

n nn

−= ⇒ = 3p

5. 2v AC=� ��

, deci 10AC = 3p Cum ABCD este dreptunghi, obținem 10BD = 2p

6. ( )

2 1sin cos 2 sin cos

2x x x x+ = ⇒ = 2p

2 2sin cos 1tg ctg 2

1sin cos2

x xx x

x x

++ = = =

3p


1.a)

( ) ( )( )1 0 4 1 0 4

2 4 1 8 det 2 4 1 8

0 0 1 0 0 1

A A

= − − ⇒ = − − =

2p

1 0 0 0 0 0 1= + + − − − = 3p b)

( ) ( )( ) ( )321 0 2

det 0 2 1 2 1

0 0 1

a a

A a aA a a a a

a

+

+ = − + − = +

+

3p

( )3 31 2 1a a+ = ⇒ = 2p

c) ( )3 3 3 18m n m n+ = + + 2p

( ) 6mn m n+ = deci, cum m și n sunt numere naturale și m n< , obținem 1m = și 2n = 3p 2.a) ( ) ( )6 6 1 1x y xy x y∗ = + + + + =ɵ ɵ ɵ ɵ 3p

( ) ( ) ( )( )6 6 6 1 6 6 1x y y x y= + + + + = + + +ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ , pentru orice 7,x y ∈ℤ 2p b) ( )( )1 6 1 6 1 0 1 1x x∗ = + + + = + =ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ 2p

( )( )1 1 6 6 1 0 1 1 1x x x∗ = + + + = + = = ∗ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ , pentru orice 7x∈ℤ 3p



Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Pagina 2 din 2

c) ɵ ɵ ( ) ɵ ɵ0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ 3p ɵ ɵ( )1 2 3 4 5 6 1= ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ 2p


1.a) ( ) ( ) ( ) ( )2 2' '6 9 6 9x xf x e x x e x x′ = − + + − + = 2p

( ) ( )2 26 9 2 6 4 3x xe x x x e x x= − + + − = − + , x ∈ℝ 3p b) ( ) 0 1f x x′ = ⇔ = și 3x = 2p

( )' 0f x > pentru orice ( ),1x ∈ −∞ , ( )' 0f x < pentru orice ( )1,3x ∈ și ( )' 0f x > pentru

orice ( )3,x ∈ +∞ , deci punctele de extrem ale funcției f sunt 1x = și 3x = 3p

c) f este crescătoare pe ( ],1x ∈ −∞ și descrescătoare pe [ ]1,3x ∈ , deci ( ) ( )1f x f≤ pentru

orice ( ],3x ∈ −∞ 3p

( )1 4f e= , deci ( ) ( ) ( )2 2 14 3 4 3 4x xf x e e x e x e −≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ , pentru orice ( ],3x ∈ −∞ 2p

2.a) ( ) ( )2

1 11 1

lim lim 3 4 1 0x xx x

f x x x→ →< <

= − + = , ( )1 1

1 1

lnlim lim 0x xx x

xf x

x→ →> >

= = și, cum ( )1 0f = , obținem

( ) ( )1

lim 1x

f x f→

= , deci funcția f este continuă în 1x = 3p

Cum funcția f este continuă pe ( ),1−∞ și pe ( )1,+∞ , obținem că f este continuă pe ℝ , deci funcția f admite primitive pe ℝ

2p

b)

( ) ( ) ( ) ( )1 1

2

1 1 1 1 1

ln3 4 1

e e ex

f x dx f x dx f x dx x x dx dxx

− − −

= + = − + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2p

( ) ( ) ( )3 21

2 2 ln 4 4 2 4 2 41 1

ex x x x x x e e= − + + − = − + = −

− 3p

c)

( )

1 1 12 3 22 ln ln 3 3 1

3 3

n n

n n

ne e

ne e

ex x n nf x dx dx

xe

+ + ++ +

= = =∫ ∫ 3p

23 3 1 7

3 3

n n+ += și, cum n este număr natural, obținem 1n = 2p




Pagina 1 din 1


Proba E. c)


Varianta 9 Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare



5p 1. Arătaţi că ( ) ( ) ( )( )3 1 3 1 2 1 2 1 1+ − − + − = .

5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2f x x= − . Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia

( ) 4f x < .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )32 2log 3 log 30x + = .

5p 4. Determinaţi câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 1 , 2 , 3 , 4 și 5 .

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,3M şi ( )1,4N − . Determinaţi coordonatele

punctului P , simetricul punctului N față de punctul M .

5p 6. Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC dreptunghic în A , ştiind că 8AB = și

( ) 30m C = °∢ .


Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie ( )2 6x y xy x y∗ = − + + .

5p 1. Arătați că 1 2 2∗ = .

5p 2. Demonstrați că ( )( )2 2 2x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .

5p 3. Arătați că 3e = este elementul neutru al legii de compoziţie „∗”.

5p 4. Determinați numerele naturale n pentru care n n n∗ ≤ .

5p 5. Determinați numărul real x pentru care ( )2 2 2 10x x x∗ ∗ = .

5p 6. Determinați numerele raționale p și q , știind că 2 2

33 1 3 1

p q∗ = +− −

.



2 4

1 2A

− =

− , 2

1 0

0 1I

=

și ( ) 2M a I aA= + , unde a este număr real.


5p 2. Arătați că 2A A O⋅ = , unde 20 0

0 0O

=

.

5p 3. Demonstrați că ( ) ( ) ( )M a M b M a b⋅ = + , pentru orice numere reale a și b .

5p 4. Determinați numerele reale t , știind că ( ) ( ) ( )2 90M t M t M⋅ = .

5p 5. Arătați că inversa matricei 2I A+ este matricea 2I A− .

5p 6. Rezolvaţi în ( )2 ℝM ecuaţia ( )2 2I A X A I+ ⋅ = − .




Pagina 1 din 2


Proba E. c)



Varianta 9





1. ( )( ) ( )( ) ( ) ( )3 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1+ − − + − = − − − = 3p 2 1 1= − = 2p

2. 3 2 4 3 6x x− < ⇔ < 3p

( ),2x∈ −∞ 2p

3. 3 33 30 27 0x x+ = ⇒ − = 3p

3x = , care convine 2p 4. Cifra unităților poate fi aleasă în 5 moduri 2p

Cum cifrele sunt distincte, pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi aleasă în 4 moduri, iar apoi cifra sutelor poate fi aleasă în 3 moduri, deci se pot forma 5 4 3 60⋅ ⋅ = de numere

3p

5. Punctul M este mijlocul segmentului

12

2PxNP

− +⇒ = , de unde obținem 5Px = 3p

43

2Py+= , de unde obținem 2Py = 2p

6. 1 8sin

2

ABC

BC BC= ⇔ = 3p

16BC = 2p


1. ( )1 2 1 2 2 1 2 6∗ = ⋅ − + + = 3p

2 6 6 2= − + = 2p 2. 2 2 4 2x y xy x y∗ = − − + + = 2p

( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p

3. ( )( )3 2 3 2 2 2 2x x x x∗ = − − + = − + = , pentru orice număr real x 2p

( )( )3 3 2 2 2 2 2 3x x x x x∗ = − − + = − + = = ∗ , pentru orice număr real x , deci 3e = este

elementul neutru al legii de compoziție „∗” 3p

4. ( )( ) ( )( )2 2 2 2 3 0n n n n n− − + ≤ ⇔ − − ≤ 3p

Cum n este număr natural, obținem 2n = sau 3n = 2p 5.

( )2

2 2 2 2 2x x x∗ = − + , ( ) ( )3

2 2 2 2 2 2x x x x∗ ∗ = − + 3p

( )3

2 2 2 10 2 2 2 2x x x− + = ⇔ − = ⇔ = 2p

6. ( )

222 2 2

2 2 3 1 2 6 2 33 1 3 1 3 1

∗ = − + = − + = −

− − − 3p

6 2 3 3p q− = + , de unde obținem 6p = și 2q = − 2p




Pagina 2 din 2


1. ( ) ( )

2 4det 2 2 1 4

1 2A

−= = − ⋅ − − ⋅ =

− 3p

4 4 0= − + = 2p 2. ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2 2 4 1 2 4 4 2

1 2 2 1 1 4 2 2A A

− − + ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ = =

− − + ⋅ − − ⋅ + ⋅ 3p

24 4 8 8 0 0

2 2 4 4 0 0O

− − + = = =

− − + 2p

3. ( ) ( ) ( )( )2 2 2M a M b I aA I bA I aA bA abA A⋅ = + + = + + + ⋅ = 3p

( ) ( ) ( )2 2 2I a b A abO I a b A M a b= + + + = + + = + , pentru orice numere reale a și b 2p

4. ( ) ( ) ( )2 2M t M t M t t⋅ = + 2p

( ) ( )2 290 90 0M t t M t t+ = ⇒ + − = , de unde obținem 10t = − sau 9t = 3p 5. ( )( )2 2 2 2I A I A I A A A A I+ − = − + − ⋅ = 2p

( )( )2 2 2 2I A I A I A A A A I− + = + − − ⋅ = , deci matricea 2I A− este inversa matricei 2I A+ 3p

6. ( ) ( )1

2 2X I A A I−

= + ⋅ − 2p

25 8

22 3

X A I X−

= − ⇒ = −

3p




Pagina 1 din 1


Proba E. c)





5p 1. Arătați că ( )1

2 0,1 6 13

⋅ + =

.

5p 2. Se consideră funcția ( ): , 2 2f f x x→ = −ℝ ℝ . Determinaţi numărul real a pentru care ( )f a a= .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 6 55 5x x+ = .

5p 4. Prețul unui obiect este 900 de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se ieftinește de

două ori, succesiv, cu câte 10% .

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 1A − , ( )1,2B și ( )1, 2C − − . Demonstrați că

triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.

5p 6. Arătați că 2 2 23

sin 30 sin 45 sin 602

° + ° + ° = .


Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie ( )2 2x y x y xy∗ = + + + .

5p 1. Arătaţi că ( )0 2 2∗ − = − .

5p 2. Demonstrați că ( )( )2 2 2x y x y∗ = + + − , pentru orice numere reale x și y .

5p 3. Verificaţi dacă 1e = − este elementul neutru al legii de compoziţie „∗”.

5p 4. Determinaţi numerele reale x , știind că ( ) ( )1 1 2x x+ ∗ + = .

5p 5. Determinați numerele ( )0,x ∈ +∞ pentru care ( )lg lg 2 2x x∗ = − .

5p 6. Dați exemplu de numere raționale a și b , care nu sunt întregi, pentru care numărul a b∗ este

întreg.



1 1

0 2A

=

, 21 0

0 1I

=

și ( ) 2M a aA I= + , unde a este număr real.

5p 1. Arătaţi că det 2A = .

5p 2. Demonstrați că ( )( ) ( )( )det 1 2 1M a a a= + + , pentru orice număr real a .

5p 3. Determinați inversa matricei ( )2M − .

5p 4. Arătați că ( ) ( ) ( )21 2 3M M A A I⋅ = ⋅ + .

5p 5. Demonstrați că ( )( )det 2 1M a aA− ≠ , pentru orice număr întreg nenul a .

5p 6. Determinaţi matricea ( )2,1X ∈ ℝM pentru care 0

4A X

⋅ =

− .




Pagina 1 din 2


Proba E. c)



Varianta 2





1. ( )

15 10,1 6

90 6= = 3p

1 1 12 2 1

6 3 2

⋅ + = ⋅ =

2p

2. ( ) 2 2f a a= − 2p

2 2 2a a a− = ⇔ = 3p 3. 2 26 5 5 6 0x x x x+ = ⇔ − + = 3p

2x = sau 3x = 2p 4. După prima ieftinire cu 10% , prețul obiectului este 900 10% 900 810− ⋅ = lei 3p

După a doua ieftinire cu 10% , prețul obiectului este 810 10% 810 729− ⋅ = de lei 2p 5. 10AB = , 10AC = , deci triunghiul ABC este isoscel 3p

20BC = , și cum ( ) ( ) ( )2 2 2

20 10 10= + , obținem că triunghiul ABC este dreptunghic 2p

6. 1sin30

2° = ,

2sin 45

2° = ,

3sin 60

2° = 3p

2 2 2 1 2 3 6 3sin 30 sin 45 sin 604 4 4 4 2

° + ° + ° = + + = = 2p


1. ( ) ( )( ) ( )0 2 2 0 2 0 2 2∗ − = + − + ⋅ − + = 3p 4 2 2= − + = − 2p

2. 2 2 4 2x y xy x y∗ = + + + − = 2p

( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p

3. ( ) ( )( )1 2 1 2 2 2 2x x x x∗ − = + − + − = + − = 2p

( ) ( )( ) ( )1 1 2 2 2 2 2 1x x x x x− ∗ = − + + − = + − = = ∗ − , pentru orice număr real x , deci 1e = −

este elementul neutru al legii de compoziție „∗” 3p

4. ( )( ) 23 3 2 2 6 5 0x x x x+ + − = ⇔ + + = 3p

5x = − sau 1x = −

2p 5. ( ) ( )( )lg 2 lg 2 2 2 2 lg 2 0x x x+ + − = − ⇒ + = sau ( )lg 2 2 0x + = 3p

1

100x = sau

1

200x = , care convin 2p

6. ( )( )2 2a b a b∗ ∈ ⇔ + + ∈ℤ ℤ 2p

De exemplu, pentru 2 4

2 \3 3

a a+ = ⇔ = − ∈ℚ ℤ și 3 1

2 \2 2

b b+ = ⇔ = − ∈ℚ ℤ , obținem

1a b∗ = − , care este număr întreg

3p




Pagina 2 din 2


1. 1 1 1 1det 1 2 0 1

0 2 0 2A A

= ⇒ = = ⋅ − ⋅ =

3p

2 0 2= − = 2p 2.

( )1 1 1 0 1

0 2 0 1 0 2 1

a aM a a

a

+ = + =

+ 3p

( )( ) ( )( )1

det 1 2 10 2 1

a aM a a a

a

+= = + +

+, pentru orice număr real a 2p

3. ( ) ( )( )

1 22 det 2 3

0 3M M

− − − = ⇒ − =

− 2p

( )1

21

321

03

M−

−

− =

−

3p

4. ( ) ( )

2 1 3 2 6 9 2 31 2 3

0 3 0 5 0 15 0 5M M

⋅ = = =

3p

21 3 1 0 2 3

0 4 0 1 0 5A A I

⋅ + = + =

, deci ( ) ( ) ( )21 2 3M M A A I⋅ = ⋅ + 2p

5. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )22 det 2 1 1 2M a aA I aA M a M a aA a a− = − = − ⇒ − = − − 2p

( )( ) ( )21 1 2 1 2 3 1 1 2 3 0a a a a a a− − = ⇔ − + = ⇔ − = , ceea ce este imposibil dacă a este

număr întreg nenul, deci ( )( )det 2 1M a aA− ≠ , pentru orice număr întreg nenul a 3p

6. 1 1 0 0

0 2 4 2 4

x x y

y y

+ = ⋅ = ⇔

− = − 2p

2x = și 2y = − , deci 2

2X

=

− 3p


Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare �i Examinare


Pagina 1 din 1


Proba E. c)


Model




5p 1. Arătați că 2

1 283 : 1

3 9

+ = .

5p 2. Arătați că ( ) ( )1 1 4f f− − = pentru orice număr real m , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x m= + .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 3 42 2x x+ = .

5p 4. Prețul unui obiect este 1200 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două

ori, succesiv, cu câte 5% .

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,6A și ( )2,3B . Determinaţi distanţa de la punctul O la punctul C , unde C este simetricul punctului A față de punctul B .

5p 6. Calculaţi aria triunghiului ABC , �tiind că ( ) 45m B = °∢ �i 4AB AC= = .

SUBIECTUL al II,lea (30 de puncte)

Pe mulţimea numerelor reale se define�te legea de compoziţie 2017x y x y∗ = + − .

5p 1. Arătați că 2000 17 0∗ = .

5p 2. Arătați că legea de compoziţie „∗” este asociativă.

5p 3. Demonstrați că ( ) ( ) ( )2017 1009 1008a a a a∗ + = + ∗ + , pentru orice număr real a .

5p 4. Determinaţi numărul real x , știind că 4 2 2011x x∗ = − .

5p 5. Determinați cel mai mare număr natural n , pentru care n n n∗ ≤ .

5p 6. Arătați că numărul 2 2

3 5 3 5∗

− + este întreg.

SUBIECTUL al III,lea (30 de puncte)


1 2

2 2A

=

și 21 0

0 1I

=

.

5p 1. Calculați det A .

5p 2. Demonstrați că inversa matricei A este matricea 1 1

112

− −

.

5p 3. Arătaţi că 23 2A A A I⋅ − = .

5p 4. Determinaţi numerele reale x , știind că ( )2det 2A xI− = . 5p 5. Determinaţi numărul real a , știind că 26A A A aA I⋅ ⋅ = + .

5p 6. Determinați numerele reale p și q , pentru care A X X A⋅ = ⋅ , unde 2 1

Xp q

=

.



Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model Barem de evaluare �i de notare


Pagina 1 din 2


Proba E. c)


BAREM DE EVALUARE "I DE $OTARE

Model


•�Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. •�$u se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

•� Se acordă 10 puncte din oficiu. $ota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.


1. 21 1 283 3

3 9 9

+ = + =

3p

28 28: 1

9 9= 2p

2. ( )1 2f m= + 2p ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 4f m f f m m− = − + ⇒ − − = + − − + = , pentru orice număr real m 3p

3. 2 23 4 4 3 0x x x x+ = ⇔ − + = 3p 1x = sau 3x = 2p

4. După prima scumpire cu 5% , prețul obiectului este 1200 5% 1200 1260+ ⋅ = de lei 3p După a doua scumpire cu 5% , prețul obiectului este 1260 5% 1260 1 323+ ⋅ = de lei 2p

5. ( )2,0C 3p 2OC = 2p

6. ABC� este dreptunghic în A , deci

4 4

2 2ABC

AB AC�

⋅ ⋅= = =� 3p

8= 2p


1. 2000 17 2000 17 2017∗ = + − = 3p 2017 2017 0= − = 2p

2. ( ) ( ) ( )2017 2017 2017 4034x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = + − ∗ = + − + − = + + − 2p ( ) ( ) ( ) ( )2017 2017 2017 4034x y z x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = ∗ + − = + + − − = + + − = ∗ ∗ ,

pentru orice numere reale x , y și z , deci legea de compoziţie „∗” este asociativă 3p

3. ( ) ( )2017 2017 2017 2a a a a a∗ + = + + − = 2p ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1009 1008 1009 1008 2017 2 2017a a a a a a a+ ∗ + = + + + − = = ∗ + , pentru orice număr real a

3p

4. ( )( )4 2 2017 2011 4 2 6 0 2 3 2 2 0x x x x x x+ − = − ⇔ + − = ⇔ + − = 3p Cum 2 0x > , obținem 1x = 2p

5. 2017 2017n n n n n n n∗ ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ ≤ 3p 2017 este cel mai mare număr natural n pentru care are loc relația 2p

6. 2 2 2 22017

3 5 3 5 3 5 3 5∗ = + − =

− + − + 2p

( ) ( )2 3 5 2 3 52017 3 2017 2014

4

+ + −= − = − = − , care este număr întreg 3p





Pagina 2 din 2


1. 1 2det 1 2 2 2

2 2A = = ⋅ − ⋅ = 3p

2 4 2= − = − 2p 2.

( )

( )2

11 1 2 1 1 1 21 1

1 021

0 11 12 1 2 1 2 1 22

2

A I

⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ −− ⋅ = = = − ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ −

2p

( ) ( )2

1 1 1 2 1 2 1 21 11 0

1 110 11 1 2 1 2 21

2 22

A I

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = = = ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅−

, deci matricea

1 1

11

2

− −

este inversa matricei A

3p

3. 5 6

6 8A A

⋅ =

,

3 63

6 6A

=

3p

2

5 6 3 6 2 03 2

6 8 6 6 0 2A A A I

⋅ − = − = =

2p

4. ( ) 22 2

1 2 1 2det 3 2

2 2 2 2

x xA xI A xI x x

x x

− − − = ⇒ − = = − − − −

3p

2 23 2 2 3 4 0 1x x x x x− − = ⇔ − − = ⇔ = − sau 4x = 2p 5. ( ) ( ) ( )2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 3 2 2 11 6A A A I A A A A I A A A A A I A A I⋅ = + ⇒ ⋅ ⋅ = + ⋅ = ⋅ + = + + = + 3p

Cum matricea A este nenulă, 2 211 6 6 11A I aA I a+ = + ⇔ = 2p 6. 2 2 1 2

4 2 2 2

p qA X

p q

+ + ⋅ = + +

, 4 6

2 2 2X A

p q p q

⋅ = + +

2p

Cum 2 2 1 2 4 6

4 2 2 2 2 2 2

p q

p q p q p q

+ + = + + + +

, obținem 1p = și 5

2q = 3p


Ministerul Educaţiei Naționale

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a


Pagina 1 din 1


Proba E. c)


Clasa a XII-a

Simulare




5p 1. Determinaţi rația progresiei aritmetice ( )1n n

a≥

, știind că 1 2 3 4 14a a a a+ + + = și 1 2a = .

5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 5 4f x x x= − + . Determinaţi distanța dintre punctele de

intersecție a graficului funcției f cu axa Ox .

5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 12 2 2 7x x x+ ++ + = .

5p 4. După două creșteri succesive cu câte 10% , un produs costă 242 de lei. Calculați prețul produsului

înainte de cele două scumpiri.

5p 5. Determinați numărul real m pentru care vectorii 1 6v mi j= +��

şi 2 2 3v i j= +��

sunt coliniari.

5p 6. Calculați aria dreptunghiului ABCD , știind că 3AB = și 5AC = .


Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y x y xy∗ = + − .

5p 1. Calculaţi ( )1 1− ∗ .

5p 2. Verificați dacă legea de compoziţie „ ”∗ este comutativă.

5p 3. Arătați că ( )( )1 1 1x y x y∗ = − − − + , pentru orice numere reale x și y .

5p 4. Determinați numerele reale x , pentru care 0x x∗ = .

5p 5. Determinați numărul real a , pentru care 1a a∗ ≥ .

5p 6. Calculați 1 2 3 2017

2016 2016 2016 2016∗ ∗ ∗ ∗… .


Se consideră matricea ( )

1

0 1

nA n

=

, unde n este număr întreg.

5p 1. Calculați ( )( )det 2017A .

5p 2. Arătaţi că ( ) ( ) 22017 2017 2A A I− + = , unde 21 0

0 1I

=

.

5p 3. Arătați că ( ) ( ) ( )A m A n A m n⋅ = + , pentru orice numere întregi m și n .

5p 4. Se consideră matricea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 4 5 6B A A A A A A A= + + + + + + . Arătați că suma

elementelor matricei B este divizibilă cu 7.

5p 5. Arătați că matricea ( )A n este inversabilă pentru orice număr întreg n .

5p 6. Determinați matricea ( )2X ∈ ℤM pentru care ( ) ( )2017 2018A X A⋅ = .





Barem de evaluare şi de notare


Pagina 1 din 2


Proba E. c)


Clasa a XII-a


Simulare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare




1. ( ) ( ) ( )1 1 1 1 12 3 14 4 6 14a a r a r a r a r+ + + + + + = ⇔ + = 3p

1r = 2p

2. ( ) 20 5 4 0f x x x= ⇔ − + = 2p

1x = sau 4x = , deci distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox

este egală cu 3 3p

3. ( )2 12 2 2 1 7 2 1x x+ + = ⇔ = 3p 0x = 2p

4. 10 10 10242

100 100 100p p p p

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

, unde p este prețul produsului înainte de cele două

scumpiri

3p

200p = de lei 2p

5. 6

2 3

m= 3p

4m = 2p

6. 2 25 3 4BC = − = 3p

3 4 12ABCD = ⋅ =A 2p


1. ( ) ( )1 1 1 1 1 1− ∗ = − + − − ⋅ = 3p

1= 2p

2. x y x y xy y x yx∗ = + − = + − = 3p

y x= ∗ , pentru orice numere reale x și y , deci legea „ ”∗ este comutativă 2p

3. 1 1x y xy x y∗ = − + + − + = 2p

( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1x y y x y= − − + − + = − − − + , pentru orice numere reale x și y 3p

4. ( )( ) ( )2

1 1 1 0 1 1x x x− − − + = ⇔ − = 3p

0x = sau 2x = 2p

5. ( )( ) ( )2

1 1 1 1 1 0a a a− − − + ≥ ⇔ − ≤ 3p

1a = 2p

6. 1 1 1x y∗ = ∗ = , pentru x și y numere reale 2p

1 2 3 2015 2016 2017 20171 1

2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ =

… 3p





Barem de evaluare şi de notare


Pagina 2 din 2


1. ( ) ( )( )

1 2017 1 20172017 det 2017

0 1 0 1A A

= ⇒ = =

2p

1= 3p

2. ( ) ( )

1 2017 1 2017 2 02017 2017

0 1 0 1 0 2A A

− − + = + = =

3p

2

1 02 2

0 1I

= =

2p

3. ( ) ( )

1 1 1

0 1 0 1 0 1

m n n mA m A n

+ ⋅ = = =

3p

( )1

0 1

m nA m n

+ = = +

, pentru orice numere întregi m și n 2p

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

7 0 1 2 6 7 210 1 2 3 4 5 6

0 7 0 7B A A A A A A A

+ + + + = + + + + + + = =

…

3p

Suma elementelor matricei B este egală cu 35, care este un număr divizibil cu 7 2p

5. ( )( )

1det 1

0 1

nA n = = 2p

( )( )det 0A n ≠ , deci ( )A n este inversabilă pentru orice număr întreg n 3p 6.

Cum ( ) ( ) ( ) 22017 2017 0A A A I⋅ − = = , obținem ( )( ) ( )1

2017 2017A A−

= − 2p

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

2017 2018 2017 2018 10 1

X A A X A A X A X−

= ⋅ ⇔ = − ⋅ ⇔ = ⇔ =

3p




Pagina 1 din 1


Proba E. c)


Varianta 10




5p 1. Arătați că 9 33

025 55

− = .

5p 2. Rezolvați în mulțimea numerelor naturale nenule inecuația ( )3 1 6x − < .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )24 4log 4 6 log 2x x+ + = . 5p 4. Determinaţi câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4 și 5.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1M , ( )4,1N şi ( )4,4P . Arătați că triunghiul

MNP este isoscel.

5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu 6AB = și 12BC = . Arătaţi că ( ) 30m C = °∢ .


Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie ( )7 42x y xy x y∗ = + + + .

5p 1. Arătați că ( )2 2 40∗ − = .

5p 2. Arătați că ( )( )7 7 7x y x y∗ = + + − , pentru orice numere reale x și y .

5p 3. Verificați dacă 6e = − este elementul neutru al legii de compoziţie „∗”.

5p 4. Determinaţi numărul real a pentru care 2 65a∗ = .

5p 5. Determinați numerele reale x , 0x > pentru care ( ) ( )2 2log log 42x x∗ = .

5p 6. Determinați numerele întregi m pentru care ( )2 57m m∗ − ≥ .



6 5

1 1A

− =

− și

1 5

1 6B

=

.


5p 2. Arătați că 2A B B A O⋅ − ⋅ = , unde 20 0

0 0O

=

.

5p 3. Determinați numerele reale x pentru care ( )det 1 3A xB x+ = − .

5p 4. Determinați numerele reale x și y pentru care 7

1

xA

y

⋅ =

− .

5p 5. Arătați că ( ) ( ) ( )det det 2 det detA B A B A B+ + − = + .

5p 6. Determinați matricea ( )2X ∈ ℝM , astfel încât 2A X B I⋅ − = , unde 21 0

0 1I

=

.




Pagina 1 din 2


Proba E. c)



Varianta 10





1. 9 3

25 5= 2p

3 33 3 30

5 55 5 5− = − = 3p

2. 1 2 3x x− < ⇔ < 2p Cum x este număr natural nenul, obținem 1x = sau 2x = 3p

3. 2 24 6 2 4 4 0x x x x+ + = ⇔ + + = 3p

2x = − , care convine 2p 4. Cifra unităților poate fi aleasă în 3 moduri 2p

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi aleasă în câte 5 moduri, deci se pot forma 3 5 15⋅ = numere 3p

5. ( ) ( )

2 24 1 1 1 3MN = − + − = 2p

( ) ( )2 2

4 4 4 1 3NP MN NP= − + − = ⇒ = , deci MNP∆ este isoscel 3p

6. 6sin

12

ABC

BC= = = 2p

1

2= și, cum C∢ este ascuțit, obținem ( ) 30m C = °∢ 3p


1. ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 7 2 2 42 2 7 0 42∗ − = ⋅ − + + − + = − + ⋅ + = 3p 2 42 40= − + = 2p

2. 7 7 49 7x y xy x y∗ = + + + − = 2p

( ) ( ) ( )( )7 7 7 7 7 7 7x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p

3. ( ) ( )( )6 7 6 7 7 7 7x x x x∗ − = + − + − = + − = 2p

( ) ( )( ) ( )6 6 7 7 7 7 7 6x x x x x− ∗ = − + + − = + − = = ∗ − , pentru orice număr real x , deci

6e = − este elementul neutru al legii de compoziție „∗” 3p

4. ( )( )2 2 7 7 7 9 63 7 9 56a a a a∗ = + + − = + − = + 3p

9 56 65 1a a+ = ⇔ = 2p 5. ( ) ( )

2 22 2 2log 7 7 42 log 7 49 log 7 7x x x+ − = ⇔ + = ⇔ + = − sau 2log 7 7x + = 3p

142x −= sau 1x = , care convin 2p

6. ( ) ( )( ) 22 7 2 7 7 2 56m m m m m m∗ − = + − + − = − + + 2p

( )22 2 56 57 1 0m m m− + + ≥ ⇔ − − ≥ , de unde obținem 1m = 3p




Pagina 2 din 2


1. ( ) ( )

6 5det 6 1 1 5

1 1A

−= = ⋅ − − ⋅ − =

− 3p

6 5 1= − = 2p 2. 6 5 1 5 1 5 6 5 1 0 1 0

1 1 1 6 1 6 1 1 0 1 0 1A B B A

− − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − =

− − 3p

20 0

0 0O

= =

2p

3. ( ) 2

6 5 5 6 5 5det 47 1

1 1 6 1 1 6

x x x xA xB A xB x x

x x x x

+ − + + − + + = ⇒ + = = + +

− + + − + + 2p

2 247 1 1 3 50 0 50x x x x x x+ + = − ⇔ + = ⇔ = − sau 0x = 3p

4. 6 5 7 6 5 7

1 1 1 1

x x y

y x y

− − = = ⇔

− − − + = − 3p

2x = și 1y = 2p 5. 7 0 5 10

,0 7 2 5

A B A B−

+ = − = − −

2p

( ) ( ) ( )7 0 5 10

det det 49 45 40 7 2 5

A B A B−

+ + − = + = + − =− −

2p

( ) ( ) ( ) ( )2 det det 2 1 1 4 det detA B A B A B+ = + = = + + − 1p

6. det 0A ≠ , 1

1 5

1 6A

− =

2p

( )12 2A X B I X A I B−

⋅ − = ⇔ = ⋅ + , de unde obținem 7 40

8 47X

=

3p




Pagina 1 din 1


Proba E. c)






1 : 12 4 8

+ − =

.

5p 2. Determinaţi numărul real a pentru care ( ) ( )1 1 2f f+ − = , unde :f →ℝ ℝ , ( )f x x a= + .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )26 6log 2 log 3x x+ = .

5p 4. Prețul unui obiect este 300 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte 10% .

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,0O , ( )3,2A − și ( )3,2B . Determinaţi distanţa

de la punctul O la punctul M , unde M este mijlocul segmentului AB .

5p 6. Calculaţi aria triunghiului ABC , ştiind că ( ) 45m C = °∢ şi 2 3AB AC= = .


Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 6x y x y∗ = + − .

5p 1. Arătaţi că 6 0 0∗ = .

5p 2. Arătaţi că legea de compoziție „∗” este comutativă.

5p 3. Verificați dacă 6e = este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

5p 4. Determinaţi numerele reale x pentru care x x x x∗ ∗ = .

5p 5. Arătaţi că 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = .

5p 6. Determinați numerele naturale pare nenule n pentru care de 6 ori

6n

n n n∗ ∗ ∗



Pagina 1 din 2


Proba E. c)



Varianta 2





1. 1 1 71

8 4 8+ − = 3p

7 7: 1

8 8= 2p

2. ( )1 1f a= + , ( )1 1f a− = − + 2p

( ) ( )1 1 2 2 2f f a+ − = ⇔ = , deci 1a = 3p

3. 2 22 3 3 2 0x x x x+ = ⇔ − + = 3p

1x = sau 2x = , care convin 2p 4. După prima ieftinire cu 10% , prețul obiectului este 300 10% 300 270− ⋅ = de lei 3p

După a doua ieftinire cu 10% , prețul obiectului este 270 10% 270 243− ⋅ = de lei 2p 5. ( )0,2M 3p

2OM = 2p 6.

ABC∆ este dreptunghic în A , deci 2 3 2 3

2 2ABCAB AC

∆

⋅ ⋅= = =A 3p

6= 2p


1. 6 0 6 0 6∗ = + − = 3p 6 6 0= − = 2p

2. 6 6x y x y y x∗ = + − = + − = 3p y x= ∗ , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziţie „∗” este comutativă 2p

3. 6 6 6x x x∗ = + − = 2p 6 6 6 6x x x x∗ = + − = = ∗ , pentru orice număr real x , deci 6e = este elementul neutru al legii de compoziție „∗”

3p

4. 2 6x x x∗ = − , 3 12x x x x∗ ∗ = − 2p 3 12 6x x x− = ⇔ = 3p

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 1 5 9 13∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = − ∗ ∗ ∗ ∗ = 3p

( )8 8 13 6 13 6 1= − ∗ ∗ = − + − = 2p

6. de 6 ori

6 30n

n n n n∗ ∗ ∗ = −…�� 2p

6 30 6 6n n− < ⇒ < și, cum n este număr natural par nenul, obținem 2n = sau 4n = 3p


1. ( ) ( )( )

1 2 1 21 det 1 1 3 4 2

4 3 4 3A A

= ⇒ = = ⋅ − ⋅ =

3p

3 8 5= − = − 2p




Pagina 2 din 2

2. ( ) ( ) ( )

2 0 4

4 3 8 6

aA a A a A a

− − = ⇒ − + = =

3p

( )0 2

2 2 04 3

A

= =

, pentru orice număr real a 2p

3. ( ) 2

3 2 3 2 3 2 9 8 6 6 1 03

4 3 4 3 4 3 12 12 8 9 0 1A I

− − − − + ⋅ = ⋅ = = =

− − − − + 2p

( ) 23 2 9 8 6 6 1 0

34 3 12 12 8 9 0 1

A I− − −

⋅ = = = − − + − +

, deci matricea 3 2

4 3

−

− este inversa

matricei ( )3A

3p

4. ( )( )

2det 3 8

4 3

aA a a= = − 2p

Matricea ( )A a este inversabilă ( )( )8

det 0 3 8 0 \3

A a a a

⇔ ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ∈

ℝ 3p

5.

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 22 4 3 04 3 14 3 0 0

a a aA a A a A a A

− += ⇒ − + =

2p

220 04 3 0 4 3 0

0 00 0

a aa a

− += ⇔ − + =

, de unde obținem 1a = sau 3a = 3p

6. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 4 2 42 det 2 6 2 32 6 20

8 6 8 6

a aA a A A a A a a

+ + + = ⇒ + = = + − = −

2p

2 26 20 15 6 5 0a a a a− = − ⇔ − + = , de unde obținem 1a = sau 5a = 3p


Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare �i Examinare


Pagina 1 din 1


Proba E. c)


Model





0,11110 100 1000

+ + = .

5p 2. Determinați valorile reale ale lui x pentru care ( ) ( )f x g x≥ , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= − și :g →ℝ ℝ , ( ) 1g x x= + .

5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 4 32 2x x−= .

5p 4. O firmă folosește 5000 de lei pentru publicitate, sumă care reprezintă 5% din profitul anual al

firmei. Calculați profitul anual al firmei. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,0A , ( )8,3B și ( )0,3C . Calculați aria

triunghiului ABC .

5p 6. Arătați că 2 22sin 30 2cos 60 1° + ° = .

SUBIECTUL al II+lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 3 3 6x y xy x y= + + +� .

5p 1. Arătați că ( )0 3 3− = −� .

5p 2. Arătați că ( )( )3 3 3x y x y= + + −� , pentru orice numere reale x și y .

5p 3. Arătați că ( )3 3x− = −� , pentru orice număr real x .

5p 4. Verificați dacă 2e = − este element neutru al legii de compoziție „ � ”.

5p 5. Calculați ( ) ( ) ( )2016 2015 ... 3− − −� � � .

5p 6. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x x x =� � .

SUBIECTUL al III+lea (30 de puncte)


5 2

2 1A

=

și 21 0

0 1I

=

.


5p 2. Arătați că 2 26A A I− = − , unde 2A A A= ⋅ .

5p 3. Determinaţi numerele reale x pentru care ( )det 4xA = .

5p 4. Arătaţi că ( )2 2det 6 0A A aI− + ≥ , pentru orice număr real a , unde 2A A A= ⋅ . 5p 5. Determinați inversa matricei B , unde 2B A I= + .

5p 6. Determinaţi matricele ( )2a b

Xb a

= ∈

ℤ� , știind că det 8X = .





Pagina 1 din 2


Proba E. c)


BAREM DE EVALUARE "I DE NOTARE

Model


•�Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. •�Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

•� Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut pentru lucrare.


1. 10,1

10= ,

10,01

100= ,

10,001

1000= 3p

0,1 0,01 0,001 0,111+ + = 2p 2. ( ) ( ) 2 1 1f x g x x x≥ ⇔ − ≥ + 2p

[ )2 2,x x≥ ⇔ ∈ +∞ 3p 3. 2 24 3 4 3 0x x x x= − ⇔ − + = 3p

1 1x = și 2 3x = 2p 4.

5%20

xx⋅ = , unde x este profitul anual al firmei 3p

5 000 100 00020

xx= ⇒ = de lei 2p

5. 8BC = și lungimea înălțimii din A este 3 3p 8 3

122

ABC�⋅

= =� 2p

6. 1sin 30

2° = ,

1cos60

2° = 2p

2 2 1 12sin 30 2cos 60 2 2 14 4

° + ° = ⋅ + ⋅ = 3p


1. ( ) ( ) ( )0 3 0 3 3 0 3 3 6− = ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + =� 2p 0 0 9 6 3= + − + = − 3p

2. 3 3 9 3x y xy x y= + + + − =� 2p

( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 3 3 3x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p 3. ( ) ( )( )( )3 3 3 3 3x x− = − + + − =� 3p

0 3 3= − = − , pentru orice număr real x 2p 4. ( ) ( ) ( )( )2 3 2 3 3 3 3x x x x− = + − + − = + − =� 2p

( ) ( )( )( )2 2 3 3 3 3 3x x x x− = − + + − = + − =� , pentru orice număr real x , deci 2e = − este element neutru al legii de compoziție „ � ”

3p

5. ( )3 3x − = −� , pentru x număr real 2p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2016 2015 ... 3 2016 2015 ... 4 3 3− − − = − − − − = −� � � � � � � 3p

6. ( )23 3x x x= + −� , ( )33 3x x x x= + −� � 2p

( ) ( )3 33 3 5 3 8 1x x x+ − = ⇔ + = ⇔ = − 3p





Pagina 2 din 2


1. 5 2det 5 1 2 2

2 1A= = ⋅ − ⋅ = 3p

5 4 1= − = 2p 2.

2 29 12

12 5A A A

= ⋅ = 2p

22

29 12 30 12 1 06

12 5 12 6 0 1A A I

− − = − = =− − 3p

3. ( ) 2

5 2 5 2det

2 2

x x x xxA xA x

x x x x

= ⇒ = =

3p

214 2x x= ⇔ = − și 2 2x = 2p

4. ( )2 22 21 0 1 06 det 6

0 1 0 1

a aA A aI A A aI

a a

− − − + = ⇒ − + = = − −

3p

( )21 0a= − ≥ , pentru orice număr real a 2p 5. 6 2

2 2B

=

, 6 2

det 8 02 2

B = = ≠ 2p

1

1 1

4 4

1 3

4 4

B−

− = −

3p

6. 2 2det

a bX a b

b a= = − , deci ( )( )2 2det 8 8 8X a b a b a b= ⇔ − = ⇔ − + = 2p

Cum a și b sunt numere întregi, obținem matricele 3 1

1 3X

− − = − −

, 3 1

1 3X

− = −

,

3 1

1 3X

− = −

sau 3 1

1 3X

=

3p


Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

Pagina 1 din 1


Proba E. c)


Clasa a XII-a

Simulare




5p 1. Determinaţi numerele naturale a , b şi c , știind că 2016 2 3 7a b c= ⋅ ⋅ .

5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 24 3f x x= − . Determinaţi abscisele punctelor care au ordonata

egală cu 1 și aparțin graficului funcției f .

5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 10 2 4x x x+ − = − .

5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor mai mică sau egală cu 10.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,2A − şi ( )3,5B . Determinaţi coordonatele

simetricului punctului A faţă de punctul B .

5p 6. Perimetrul triunghiului dreptunghic ABC este egal cu 72. Determinaţi lungimea ipotenuzei BC ,

știind că sin 0,8C = .


Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y xy x y= + +� .

5p 1. Calculaţi ( )2

, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare...filiera vocaţională, profilul...

Documents